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2023-05-29 maximaで三角関数の整理

_ 黄金比

maximaで%pi/5を含む三角関数をいじっていて,少し苦労したので,メモをしておく.表示を一行でできるようにdisplay2d:false;とした後で, exp(%i*%pi/3);とすると,(sqrt(3)*%i)/2+1/2という答えが出てくる. ところが,exp(%i*%pi/5);では%e^((%i*%pi)/5)と,ほぼそのままの結果しか得られない.そこで,

trigrat(exp(%i*%pi/5)+exp(-%i*%pi/5));

とすると,

%i*(sin((2*%pi)/5)-sin((3*%pi)/5))-cos((3*%pi)/5)+cos((2*%pi)/5)+1

と,三角関数で表してはくれるが,複雑な式になる.少なくとも素直に2*cos(%pi/5)として欲しいのに,なかなかそうなってくれない. これを改善するためには,load(ntrig);と,パッケージを入れる必要がある. すると,(sqrt(5)+1)/2と,その値を計算してくれて,黄金比が出てくる. maximaで三角関数などを思ったように変形するのは,意外に難しい.